In Kurt Vonneguts Slaughterhouse-Five (Vonnegut, 1969) maakt de lezer kennis met de Tralfamadorians, een buitenaardse beschaving die niet zoveel opheeft met het verschil tussen ruimte en tijd. Ze kunnen tegelijkertijd vrij uitzien over alle vier de dimensies van de tijdruimte; zelfs het einde der tijden is glashelder voor ze: ergens in de verre toekomst drukt een Tralfamadoriaanse testpiloot per ongeluk op een verkeerde knop waarmee hij het universum opblaast. Gelukkig hoeven de Tralfamdorians niet lang stil te staan bij dit soort onprettige gebeurtenissen, want ze kunnen zich simpelweg naar aangenamere tijden bewegen. Uiteraard komen de Tralfamadorians ook op Aarde terecht, wat leidt tot grote verbazing over het typische gedrag van de aardlingen. Zo zijn de mensen erg verdrietig bij een sterfgeval, terwijl iemand die de deur uitgaat voor een simpele boodschap nauwelijks emoties oproept. Maar in beide gevallen is die persoon toch gewoon ‘ergens anders?’

Aan de andere kant hebben wij aardlingen niet zoveel conceptuele problemen met de filosofie van de Tralfamadorians. Zoals al werd beschreven in Space – the final frontier (de Boer, 2008) leren Einsteins speciale en algemene relativiteitstheorie ons dat het verschil tussen ruimte en tijd niet absoluut is en ze uiteindelijk samen als één tijdruimte beschreven moeten worden. Dat is misschien niet zo te merken in het dagelijks leven, waar zelfs de meest verstrooide natuurkundige nog onderscheid zal kunnen maken tussen ‘waar’ en ‘wanneer’, maar volgt onomstotelijk uit de invariantie van de lichtsnelheid en tal van andere experimenten. Toch zijn wij, in tegenstelling tot de Tralfamadorians, niet in staat om ons vrij te bewegen door die tijdruimte. Hoe komt dat eigenlijk?

Imaginaire massa’s

Een eerste aanwijzing is het feit dat de natuur het verschil tussen tijd en ruimte toch niet helemaal heeft opgegeven: natuurkundigen spreken bijvoorbeeld nog van ‘tijdachtig’ en ‘ruimteachtig’. Zo kunnen we bijvoorbeeld het traject dat een voorwerp in de tijdruimte aflegt beschouwen: voor elk massief voorwerp, zoals onszelf, is dat traject ‘tijdachtig’, wat in feite wil zeggen dat het voorwerp nooit sneller dan het licht kan gaan. Natuurlijk hebben we de vrijheid om de vorm van ons traject enigszins te beïnvloeden, als we ten minste een bepaalde manier van voortstuwing hebben. Hoe hard we onszelf echter ook proberen te versnellen, iets anders dan tijdachtig kan ons traject volgens de speciale relativiteitstheorie nooit worden.

Om te zien wat dit precies met tijdreizen te maken heeft, is het nuttig om ons niet te beperken tot voorwerpen met een ‘normale’ massa zoals wijzelf. Zo zijn er bijvoorbeeld deeltjes met nul massa, zoals een foton, die zich precies met de lichtsnelheid moeten bewegen. We zeggen dat het een ‘lichtachtig’ traject beschrijft. Ten slotte hebben we, in theorie althans, objecten met een negatief kwadráát van de massa. Hoewel we ze nooit hebben waargenomen, kunnen we zulke objecten prima met de speciale relativiteitstheorie beschrijven en we vinden dan dat ze langs ‘ruimteachtige’ trajecten bewegen. Een goed voorbeeld van zo’n object is een Tralfamadorian en, zoals Vonnegut al vertelt, ‘they had many wonderful things to teach Earthlings, especially about time.’

Laten we daarom die Tralfamadorians (we noemen ze ook wel imaginaire massa’s want ze bestaan toch niet) vanuit een meer natuurkundig oogpunt bekijken. Imaginaire massa’s zijn zulke bijzondere objecten omdat twee punten in een tijdruimte als de onze áltijd verbonden kunnen worden door een ruimteachtig traject. Dus een imaginaire massa, mits voorzien van een (eveneens imaginaire) manier van voortstuwing, kan in principe naar elk punt in de tijdruimte reizen: dat wil zeggen, morgen om twaalf uur naar de Dam in Amsterdam, naar diezelfde Dam op bijvoorbeeld 31 januari 1981, of naar Jupiter over een half uur (zoals gemeten met een klok op Aarde; de relativiteit van tijd moeten we hier niet vergeten). Een normale (of reële) massa zoals wij heeft daarentegen niet zoveel vrijheid: we kunnen die Dam morgen nog wel halen, maar zelfs een lichtstraal doet er al langer dan een half uur over om naar Jupiter te komen en helaas gaat ook 1981 niet meer lukken. Hoe hard we het ook proberen, die laatste twee punten blijven voor ons altijd onbereikbaar. In de taal van trajecten werkt dat als volgt: een mensenleven speelt zich, zoals hierboven al beschreven, noodzakelijkerwijs af langs een tijdachtig traject. Bovendien heeft ons traject een duidelijke richting (van verleden naar toekomst) en is er simpelweg geen ‘toekomstgericht tijdachtig traject’ dat onze huidige tijdruimtepositie, dat wil zeggen het nu en hier, met zulke punten in de tijdruimte verbindt (natuurkundigen zeggen ook wel eens dat die punten zich buiten onze toekomstgerichte lichtkegel bevinden).

Imaginaire massa’s kunnen dus op punten in de tijdruimte komen die voor ons onbereikbaar zijn, met name ons verleden, en zijn daarom de ideale tijdreiskandidaten. Helaas lijkt de natuur niet mee te werken: niet alleen hebben we nog nooit een imaginaire massa waargenomen, maar ook op theoretische gronden lijkt hun bestaan uitgesloten te zijn. Hoewel ze namelijk in de klassieke speciale relativiteitstheorie probleemloos beschreven kunnen worden, ontstaan er grote problemen in de corresponderende kwantummechanische beschrijving van een imaginaire massa. Zo kunnen we bijvoorbeeld de kwantumtheorie van een bosonisch deeltje beschouwen en rücksichtslos de massa van reëel naar imaginair veranderen. Interessant genoeg vinden we dat de theorie instabiel wordt en uit zichzelf op zoek gaat naar een toestand waarin de massa weer reëel is! De natuur lijkt dus zowel experimenteel als theoretisch een intrinsieke afkeer te hebben van imaginaire massa’s. Toch is daarmee het laatste woord over tijdreizen nog niet gezegd.

Gesloten tijdachtige trajecten

Laten we eens terugkomen op de trajecten door de tijdruimte, die zoals gezegd voor normale massa’s tijdachtig moeten zijn. We hadden al besloten dat onze bewegingsvrijheid in de tijdruimte enigszins beperkt is, omdat niet alle punten in de tijdruimte door een tijdachtig traject met elkaar verbonden kunnen worden. Maar dat zegt nog niets over de tijdruimte zelf! Volgens de algemene relativiteitstheorie is de tijdruimte niet statisch, maar kan gekromd worden onder invloed van de aanwezige materie. Dus wellicht kunnen we proberen om de ruimtetijd zodanig te vervormen dat we bijvoorbeeld Jupiter op loopafstand brengen, zodat we die afspraak over een half uur met stevig doorstappen toch nog net halen (overigens is het sterk af te raden om je op loopafstand van een planeet als Jupiter te bevinden, onder meer vanwege de veel sterkere zwaartekracht, maar dat is niet het onderwerp van dit verhaal). Iets formeler gezegd: we kunnen de tijdruimte zodanig vervormen dat er toekomstgerichte tijdachtige trajecten ontstaan tussen punten die zonder die vervorming niet via zo’n traject verbonden konden worden.

Nu brengt het vervormen van de tijdruimte ons misschien wel naar Jupiter, maar helaas nog niet direct terug naar 1981. Een toekomstgericht tijdachtig traject naar het verleden zou echter nogal bijzonder zijn, omdat we dan vanaf 1981 gewoon weer naar het hier en nu kunnen komen zonder ooit sneller dan het licht te hoeven gaan (er zijn genoeg mensen die dat hebben gedaan). Maar vanaf hier en nu kunnen we dan weer hetzelfde traject volgen naar 1981… enzovoort. In natuurkundige termen is er sprake van een gesloten tijdachtig traject. Tijdreizen voor reële massa’s is dus mogelijk als we de tijdruimte zodanig weten te vervormen dat er gesloten tijdachtige trajecten bestaan. Er is helaas nog nooit iets waargenomen wat op zulke trajecten lijkt en het lijkt bijzonder moeilijk de tijdruimte op zo’n manier te vervormen, maar in tegenstelling tot imaginaire massa’s zijn ze theoretisch niet uitgesloten.

Bijzondere tijdruimtes

De theoretische analyse van tijdruimtes met gesloten tijdachtige trajecten gaat als volgt. In de algemene relativiteitstheorie kunnen we naar hartenlust hypothetische tijdruimtes bestuderen: zolang de kromming van de tijdruimte maar voldoet aan de Einsteinvergelijkingen (die zijn iets anders dan E = mc2) is zo’n tijdruimte theoretisch toegestaan. Een heel elegante tijdruimte met gesloten tijdachtige trajecten werd in 1949 door Kurt Gödel opgeschreven. Deze tijdruimte heeft zelfs gesloten tijdachtige trajecten door ieder punt, dus in wezen kan iedereen in Gödels universum een tijdreiziger worden. Helaas had Gödel voor zijn universum een erg bijzondere materieverdeling nodig waarvan men toen al wist dat die niet overeenstemde met de materieverdeling in ons universum. Zijn universum blijft dus vooral een theoretische constructie.

Naast Gödel’s universum zijn er nog vele oplossingen te bedenken van de Einsteinvergelijkingen met zulke trajecten. Een interessante klasse zijn de zogenaamde wormgaten, die bepaalde punten in de ruimtetijd met elkaar kunnen verbinden. Net als een tunnel van hier naar Nieuw-Zeeland bieden ze de mogelijkheid om normale trajecten af te snijden en zo sneller dan wat dan ook (met name sneller dan een lichtstraal) aan de andere kant uit te komen. Wormgaten leiden niet altijd, maar wel vaak, tot gesloten tijdachtige trajecten en dus tot de mogelijkheid van tijdreizen. Bovendien beschrijven de wormgatoplossingen niet een universum als geheel, maar kunnen wormgaten in principe ‘leven’ in ons eigen universum. Het zijn daarmee interessante semirealistische constructies die onze aandacht zeker verdienen.

De hedendaagse theoretische analyse van wormgaten vindt plaats op diverse vlakken. Allereerst moet de kromming van de tijdruimte in de buurt van een wormgat voldoen aan de Einsteinvergelijkingen. Dat zijn lastige differentiaalvergelijkingen en het is dan ook niet eens zo makkelijk om expliciete wormgatoplossingen te vinden. Daarom is het ook interessant om te weten wat voor typen oplossingen er wel en niet mogelijk zijn. Men probeert daarom ook de Einsteinvergelijkingen te gebruiken om algemene, wiskundige stellingen te bewijzen die aangeven dat bepaalde klassen van wormgaten wel of niet kunnen bestaan. Zo worden langzamerhand de mogelijke wormgatoplossingen van de Einsteinvergelijkingen verkend.

Deze analyse schiet echter grotendeels voorbij aan iets veel belangrijkers, namelijk dat onze kennis van de zwaartekracht nog onvolledig is. Dit weten we omdat de materie en de tijdruimte zich op heel kleine schalen volgens kwantummechanische wetten moet gedragen, terwijl de Einsteinvergelijkingen duidelijk van klassieke in plaats van kwantummechanische aard zijn. Net als bij de imaginaire massa’s is het goed mogelijk dat een kwantumtheorie van de zwaartekracht ons hele nieuwe ideeën geeft over wormgaten, of ze juist helemaal uitsluit.

Kwantumzwaartekracht

Hoewel we nog geen volledige kwantumtheorie van de zwaartekracht hebben, kunnen we wel een ‘semiklassieke’ analyse proberen, waarbij we ‘een beetje’ kwantummechanica combineren met de klassieke algemene relativiteitstheorie. Over de geldigheid daarvan is discussie mogelijk. Juist voor gesloten tijdachtige trajecten blijkt zo’n semiklassieke analyse problematisch te worden en volstaat het niet om dit soort ‘half werk’ te doen (Visser, 2002). Daarom hebben we de volledige kwantumtheorie van de zwaartekracht nodig om te bestuderen of tijdruimtes met gesloten tijdachtige trajecten nog steeds consistent zijn met de wetten van de kwantummechanica.

Een goede kandidaat voor zo’n kwantumtheorie is de snaartheorie (Greene, 1999), die een aantal ‘checks’ voortkomend uit de semiklassieke analyse glansrijk heeft doorstaan. Helaas is ook de snaartheorie nog niet ver genoeg ontwikkeld om het definitieve oordeel over gesloten tijdachtige trajecten te kunnen vellen. Het antwoord lijkt bovendien flink lastig te zijn, want op kleine schaal wordt het concept van de tijdruimte zelf slecht gedefinieerd en fundamenteel bezien lijkt de vorm van de tijdruimte ook helemaal niet vast te liggen. Sterker nog, soms hebben we helemaal geen normale tijdruimte nodig voor een theorie van de kwantumzwaartekracht! En dat maakt het hele concept van gesloten tijdachtige trajecten of tijdreizen dan ook weer ambivalent…

Het laatste woord over tijdreizen lijkt nog niet gezegd, en het antwoord is ongetwijfeld zeer direct gerelateerd aan andere grote antwoorden op het gebied van de fundamentele theoretische natuurkunde. Maar eigenlijk zijn al die theoretische beschouwingen voor tijdreizen niet eens zo heel erg nodig, want laten we vooral het overtuigende experimentele bewijs tégen tijdreizen niet vergeten: als tijdreizen ooit eens mogelijk zou zijn, waarom hebben we dan nog nooit een tijdreiziger gezien?